Functia Logoritmica

În practică se folosesc logaritmii în bază zece care se mai numesc şi logaritmi zecimali.Aceştia se notează cu lg în loc de log10;de aceea nu mai este nevoie să se specifice baza.Astfel,vom scrie lg106 în loc de log10106 şi lg5 în loc de log105 etc.

2.În matematica superioară apar foarte des logaritmi care au ca bază numărul iraţional,notat cu e,e=2,718281828… . Folosirea acestor logaritmi permite simplificarea multor formule matematice.Logaritmii în baza e apar în rezolvarea unorprobleme de fizică şi intră în mod natural în descrierea matematică a unor pro-ese chimice,biologice.De aceea aceşti logaritmi se numesc naturali. Logaritmul natural al numărului a se notează lna.

2.Funcţia logaritmică

Fie a>0,a un număr real.La punctul 1 am definit noţiunea de logaritm în baza a;
fiecărui număr pozitiv N i s-a asociat un număr real bine determinat.Acest lucru ne permite să definim o funcţie f:(0,+ ) ,f(x)=logax numită funcţie logaritmică.

Proprietăţile funcţiei logaritmice:

1.f(1)=0.Cum a0=1 rezultă că loga1=0 şi deci f(1)=0.
2.Funcţia logaritmică este monotonă.Dacă a>1,atunci funcţia logaritmică este strict crescătoare,iar dacă 0 1 şi fie x1,x2 (0,+ ) astfel încât x1 logax2,adică f(x1)>f(x2).
3.Funcţia logaritmică este bijectivă

Dacă x1,x2 (0,+ ) astfel încât f(x1)=f(x2),atunci din logax1=logax2.Dar din egalitatea (3) de la punctul 1 obţinem x1=alogax1 şi x2=alogax2,adică x1=x2.Deci f este o funcţie injectivă.
Fie y un număr real oarecare.Notăm cu x=ay.Se vede că x şi logax=logaay=y Deci f(x)=y,ceea ce ne arată că f este şi surjectivă.Aşadar,f este bijectivă.

4.Inversa funcţiei logaritmice este funcţia exponenţială
Funcţia logaritmică f:( ,f(x)=logax,fiind bijectivă,este inversabilă.Inversa ei este funcţia exponenţială g ,g(x)=ax. Într-adevăr,dacă x avem (g f)(x)=g(f(x))=g(logax)=alogax=x şi dacă y ,atunci atunci (f y)=logaay=y.