Teoremele lui Kirchhoff

Legile lui Kirhhoff servesc la calcularea retelelor electrice,si anume, cunoscandu-se o parte din marimile care intervin intr-o retea, ele permit sa se determine celelalte marimile necunoscute.

De multe ori, circuitele electrice sunt mai complicate , continand una sau mai multe surse de energie electrica si mai multe rezistente, legate in diferite moduri alcatuind retele electrice.

Marimile care intervin intr-o retea elecrica sunt: fortele elecromotoare, rezistentele diferitelor laturi si curentii prin aceste laturi

In general, circuitele electrice nu sunt formate dintr-un singur generator si un singur consumator.Un circuit ramificat este circuitul care contine mai multe generatoare si consumatoare.

Pentru un astfel de cicuit,in mod evident nu se pot folosi legile lui Ohm.





NOD = Punct al unui circuit in care sunt interconectate cel putin trei elemente de circuit.

LATURA = Portiune de circuit:

1 Cuprinsa intre doua noduri;

2 Care nu cuprinde nici un nod interior;

3 Care este parcursa de acelasi curent.

OCHI = Portiune de circuit:

1 Formata dintr-o succesiune de laturi(cel putin doua) care formeaza o linie poligonala inchisa.

2 La parcurgerea careia se trece prin fiecare nod o singura data.



O categorie deosebita de ochiuri o reprezinta ochiuri simple (fundamentale) sunt ochiuri care nu au diagonale.





TEOREMA I A LUI KIRCHHOFF

DEMONSTRATIE

Consideram un nod de retea in care se intalnesc cinci laturi.Curentii din fiecare latura transporta,intr-un interval de timp oarecare, ?t, sarcinile electrice Q1,Q2 ,…,Q5..

Deoarece sarcina electrica

1 nu poate fi creata,

2 nu poate sa dispara

3 nu se poate acumula in nod,

Rezulta ca sarcina totala care iese din nod trebuie sa fie egala cu sarcina totala care intra in nod, adica: Q2+Q3+Q5=Q1+Q4 .Impartind aceasta relatie la ?t, se obtine: I1 +I4=I2+I3+I5

Nod de retea

Evidend, acest rezultat se poate generaliza pentru orice nod in care se intalnesc orcate laturi. Rezultatul este cunoscut sub denumirea de teorema I a lui Kirchhoff.

Teorema Ia lui Kirchhoff:Suma intensitentilor curentilor care ies dintr-un nod este egala cu suma intensitatilor care intra in nodul respective.

Sau

Suma algebrrica a intensitatilor curentilor care se intalnesc intr-un nod este nula.

TEOREMA A-II-A A LUI KIRCHHOFF

Din legea lui Ohm pentru intregul circuit rezulta:I(R+r)=E Aceasta relatie cuprinde in membrul stang suma tensiunilor pe rezistentele din circuit iar in membrul drept-tensiunea electomotoare din ochi.

Suma algebrica a tensiunilor dintr-un ochi de retea este egala cu suma algebrica a tensiunilor electromotoare din ochiul respectiv ?E=?RI-E1+E2= I1(R1+r)-I2r2-I3(R3+R6)+I4(R4+R5)

APLICAREA TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF

Daca se cunosc elementele consecutive ale unui circuit (toate caracteristicile generatoarelor si consumatoarelor), ecuatiile obtinute prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff permit aflarea intensitati;lor tuturor curentilor din acel circuit.

Etapele care trebuie parcurse pentru analiza acestui sistem fizic sunt:

1. Se identifica nodurile circuitului .

2. Se identifica laturile circuitului.Se noteaza curentii si se aleg sensuri pentru acestia.

3. Se aplica teorema I a lui Kirchhoff pentru n-1 noduri.

4. Se aleg cele f ochiuri pentru care se aplica teorema a II a lui Kirchhoff.Este recomandabil ca acestea sa fie tocmai ochiurile simple (fundamentale).Se aleg sensuri de referinta in cele f ochiuri.

5. Se aplica teorema a II a lui Kirchhoff in cele f ochiuri alese.

6. Cu cele n-1ecuatii obtinute se formeaza un sistem de ecuatii obtinut este egal cu numarul laturilor, deci egal cu numarul necunoscutelor (intensitatile curentilor).



GRUPAREA REZISTOARELOR

Rezistor echivalent

Consideram o portiune de circuit electric cuprinsa intre doua puncte,A si B (circuit dipolar) formata numai din consumatori (circuit pasiv). Daca intre punctele A si B tensiunea este U, atunci intre aceste puncte va circula un curent de intensitate I.

Acest circuit dipolar pasiv poate fi inlocuit cu un singur resistor avand rezistenta aleasa astfel incat, la aceeasi tensiune U, curentul sa aiba aceeasi intensitate I.Rezistor respectiv se numeste resistor echivalent cu diapolul AB, iar rezistenta lui se numeste rezistenta echivalenta a diapolului AB.





Gruparea serie a rezistoarelor

Doua sau mai multe rezistoare sunt grupate (conectate) in serie daca sunt pe aceeasi latura a unui circuit electric.



Observatie

Fiind pe aceeasi latura,rezistoarele grupate in serie sunt parcurse de acelasi current.

Consideram o portiune de circuit formata din trei rezistoare grupate in serie .Pentru calcularea rezistentei echivalente a acestei portiuni de circuit ,procedam astfef:

" Presupunem ca portiunea de circuit se conecteaza la un generator ce asigura la borne o tensiune oarecare, U .Aceasta furnizeaza energie circuitului , astfel incat puterea transmisa gruparii formate din cele trei tranzistoare este egla cu suma puterilor transmise fiecarui resistor in parte : P=P1+P2+P3

" Deoarece intensitatea curentului este aceeasi prin cele trei rezistoare, se exprima puterile disipate pe acestea in functie de intensitate si rezistente:

P1=R1I2

P2=R2I2

P3=R3I2

"Notam cu RS rezistorul echivalent gruparii date. Se cupleaza acesta un generator care asigura la borne aceeasi tensiune U (eventual acelasi generator). Fiind echivalent cu gruparea data, prin acest rezistor,curentul trebuie sa aiba aceeasi intensitate, I.Puterea primita de rezistorul echivalent este aceeasi,deci: P=RSI2

"Inlocuind se obtine: RS=R1+R2+R3

Acest rezultat poate fi generalizat pentru un numar oarecare de rezistoare grupate in serie.

Rezistenta a unui grupari in serie:

Rezistenta echivalenta a unui grupari serie de rezistori este egala cu suma rezistentelor fiecarui rezistor.

Rezistenta echivalenta este egala cu suma rezistentelor fiecarui rezistor.

Gruparea serie poate fi utilizata la obtinerea unei valori mai mari a rezistentei electrice.

Rezistoarele fac parte din aceeasi latura.

Rezistoarele sunt parcurse de acelasi curent electric.

Rezistenta echivalenta este mai mare decat cea mai mare dintre rezistentelee cuplate in serie.

Rezistenta echivalenta a gruparii paralel:

Inversul rezistentei echivalente a unui grupari paralel de rezistoare este egal cu suma inverselor rezistentelor fiecarui rezistor.

Gruparea paralel

Doua sau mai multe rezistoare sunt grupate in paralel daca sunt conectate intre aceleasi doua noduri ale unui circuit.

Observatie

Fiind conectate intre aceleasi puncte ale circuitului, rezistoarele grupate in paralel au aceeasi tensiune la borne.