Progresia Geometrica si Aritmetica

PROGRESII

1. SIRURI

Definitie: O functie definita pe multimea IN* a numerelor naturale
nenule cu

valori intr- o multime E se numeste sir de elemente ale multimii E

Moduri de definire a unui sir: Sirul este un caz particular de
functie, de aceea

modurile de definire a unei functii se aplica si pentru definirea unui
sir

a. Siruri definite descriptive

De exemplu, sirul (d[n]) definit prin: d[1]=1, d[2]=11, d[3]=111, ...,
d[n]=11...1, ...

Acesr sir se poate descrie astfel: fiecare termen al sau se scrie cu
ajutorul cifrei 1 si numarul cifrelor este egal cu rangul termenului
sirului.

b. Siruri definite cu ajutorul unei formule care permite sa se
gaseasca orice termen al sirului

De exemplu, sirul (b[n]) astfel incat pentru fiecare n, b[n] este dat
de formula:

b[n]= n2- n +1

Formula care exprima fiecare termen al sirului cu ajutorul rangului
sau n, se numeste formula termenului al n- lea al sirului.

c. Modul recurent de definire a unui sir

De exemlu sirul (b[n]) astfel incat b[1]=1, b[2]=2, b[n+2 ]= b[n ]+
b[n+1], pentru n>=1.

Cunoscand primii doi termeni b[1], b[2] ai sirului si formula putem sa
gasim orice termen al acestui sir: b[3] = 1+2 =3, b[4] = 2+3 = 5 ...

O formula care exprima orice termen al sirului, de la un rang
oarecare, prin precedentii, se numeste recurenta. Printr- un mod
recurent de definire a unui sir indicam, de obicei:

* primul termen al sirului
* formula care permite sa se defineasca orice termen al sirului cu
ajutorul termenilor precedenti cunoscuti.

2. PROGRESII ARITMETICE

Definitie: Un sir de numere in care fiecare termen, incepand cu al
doilea, se obtine din cel precedent prin adaugarea aceluiasi numar.

Exemplu: Fie sirul (an), adica a[1], a[2], a[3], ..., a[n], ... ,

astfel incat a[1] = 3 si a [n+1] = a[n] + 2, pentru n>=1. Deci a[1] =
3, a[2] = 3+2 = 5,

a[3] = 5+2 = 7, a[4] = 7+2 = 9 etc.

a[1], a[2], a[3], ..., a[n], ... este o progresie aritmetica daca,
pentru orice k>=1, avem

a [k+1] = a[k ]+ r unde r este un numar constant pentru sirul dat.

Intr- o progresie aritmetica diferenta dintre orice termen si
predecesorul sau este egala cu acelasi numar r.

Numarul r se numeste ratia progresiei aritmetice.

Progresia aritmetica (a[n]) este complet determinata daca se cunosc
primul termen a[1] si ratia r.

Se spune ca numerele a[1], a[2], a[3], ..., a[n ]sunt in progresie
aritmetica daca ele sunt termenii consecutivi ai[ ]unei progresii
aritmetice.

Teorema 1.

Orice termen al unei progresii aritmetice a[1], a[2], ..., a [n-1], a
[n], a [n+1], ..., incepand cu al doilea este media aritmetica a
termenilor vecini lui.

Reciproca:

Daca un sir de numere are proprietatea ca fiecare termen al sau,

incepand cu al doilea, este media aritmetica a termenilor vecini lui,

atunci acest sir este o progresie aritmetica.

Formula termenului general al unei progresii aritmetice:

Fie a[1], primul termen al progresiei aritmetice si r ratia sa

Atunci a[2] = a[1] + r,

a[3] = a[2] + r = (a[1]+r) + r = a[1] + 2r,

a[4] = a[3] + r = (a[1]+2r) + r = a[1] + 3r s.a.m.d

Teorema 2.

Termenul general al unei progresii aritmetice este dat de formula:
a[n]= a[1]+(n-1)r

Formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Fie (a[n]) o progresie aritmetica de ratie r si fie S[n] suma primilor
n termini ai sai, adica: S[n] = a[1] + a[2] + a[3] = ... + a [n-1] +
a[n]

Numerele a[1,] a[2,] a[3,] ..., a [n-1], a[n ]sunt in progresie
aritmetica

Teorema 3.

Fie numerele a[1,] a[2,] a[3,] ..., a [n-1], a[n ]in progresie
aritmetica. Atunci:

a[k] + a [n-k+1] = a[1] + a[n]

Suma oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este
egala cu suma numerelor extreme.

Suma primilor n termini ai unei progresii aritmetica este egala cu
produsul dintre semisuma termenilor extremi ai sumei si numarul
termenilor sumei.

2. PROGRESII GEOMETRICE

Definitie: Un sir de numere al carui prim termen este nenul, iar
fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din cel
precedent prin inmultirea cu un acelasi numar nenul.

Exemplu: un sir de numere b[1], b[2], b[3], ..., b[n], ...(b[1]!=0)

Este o progresie geometrica daca, pentru orice k>=1, avem b [k+1] =
b[k] · q, unde q!=0 este un numar constant pentru sirul dat.

Intr-o progresie geometrica catul dintre orice termen si predecesorul
sau este egal cu acelasi numar q.

Numarul q se numeste ratia progresiei geometrice.

Progresia geometrica (b[n]) este complet determinata daca se cunosc
primul termen b[1] si ratia q.

Numerele b[1], b[2], b[3], ..., b[n] sunt in progresie geometrica daca
ele sunt termenii consecutive ai unei progresii geometrice.

Teorema 4.

Orice termen al unei progresii geometrice cu termini pozitivi

b[1], b[2], ..., b [n-1], b[n], b [n+1, ...,]

0x08 graphic
incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilor vecini lui.

Pentru orice n >= 2, b[n] = SQRT b [n-1 ]b [n+1]

Reciproca: Daca un sir de numere cu termeni pozitivi are proprietatea
ca fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, este media geometrica
a termenilor vecini lui, atunci acest sir este o progresie geometrica.

Formula termenului general al unei progresii geometrice

Fie b[1] primul termen al progresii geometrice si q ratia sa. Deducem:

b[2 ]= b[1] · q,

b[3] = b[2] ·q = (b[1]·q)· q = b[1]·q2,

b[4] = b[3] · q = (b[1] · q2) · q = b[1] · q3 s.a.m.d.

Teorama 5.

Termenul general al unei progresii geometrice este dat de formula:
b[n]= b[1 ]· q n-1

Formula sumelor primilor n termini ai unei progresii geometrice

Fie (b[n]) o progresie geometrica de ratie q si fie S[n] suma primilor
n termini ai sai:

Sn = b[1 ]+ b[2] + b[3] + ...+ b [n-1 ]+ b[n]

Numerele b[1 ], b[2] , b[3] ,..., b [n-1 ], b[n ]sunt in progresie
geometrica. Ca si pentru numere in progresie aritmetica, pentru
numerele b[1 ], b[2] , b[3] ,..., b [n-1 ], b[n ], care sunt in
progresie geometrica, are loc o relatie analoaga: b[k]b [n-k+1] =
b[1]b[n]

Produsul oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este
egal cu produsul numerelor extreme.

BACRIA MARIUS

Cls. X A F.R.

Powered by [1]http://www.referat.ro/

cel mai complet site cu referate