Logaritmi mate

Logaritmi

1.Definiţia logaritmului unui număr pozitiv
Fie a>0 un număr real pozitiv,a.Considerăm ecuaţia exponenţială
ax=N,N>0 (1)
Ecuaţia (1) are o soluţie care este unic determinată.Această soluţie se notează
X=logaN (2)
şi se numeşte logaritmul numărului pozitiv baza a.
Din (1) şi (2) obţinem egalitatea
alogaN=N (3)
care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a (a>0,a)pentru a obţine numărul dat
Dacă in (1) facem x=1,obţinem a1=a şi deci
logaa=1 (4)
Exemple
Să se calculeze log232.
Cum 25=32,atunci din definiţia logaritmului avem log232=5.
Să se determine log2.
Din egalitatea 2-4=,obţinem log2=-4.
3)Să să determine log1/327.
Să considerăm ecuaţia exponenţială x=27.Cum -3=-3=27,obţinem x=-3
şi deci log1/327=-3.
4)Să se determine log4256.
Cum 44=256,atunci din definiţia logaritmului obţinem log4256=4.

Observaţii

1.În practică se folosesc logaritmii în bază zece care se mai numesc şi logaritmi zecimali.Aceştia se notează cu lg în loc de log10;de aceea nu mai este nevoie să se
specifice baza.Astfel,vom scrie lg106 în loc de log10106 şi lg5 în loc de log105 etc.
2.În matematica superioară apar foarte des logaritmi care au ca bază numărul
iraţional,notat cu e,e=2,718281828… .Folosirea acestor logaritmi permite simpli-
ficarea multor formule matematice.Logaritmii în baza e apar în rezolvarea unor
probleme de fizică şi intră în mod natural în descrierea matematică a unor pro-
cese chimice,biologice.De aceea aceşti logaritmi se numesc naturali.Logaritmul
natural al numărului a se notează lna.
2.Funcţia logaritmică

Fie a>0,a un număr real.La punctul 1 am definit noţiunea de logaritm în baza a;
fiecărui număr pozitiv N i s-a asociat un număr real bine determinat.Acest lucru ne permite să definim o funcţie
f:(0,+),f(x)=logax numită funcţie logaritmică.

Proprietăţile funcţiei logaritmice:

1.f(1)=0.
Cum a0=1 rezultă că loga1=0 şi deci f(1)=0.
2.Funcţia logaritmică este monotonă.Dacă a>1,atunci funcţia logaritmică este strict crescătoare,iar dacă 0 1 şi fie x1,x2(0,+) astfel încât x1 logax2,adică
f(x1)>f(x2).
3.Funcţia logaritmică este bijectivă
Dacă x1,x2(0,+) astfel încât f(x1)=f(x2),atunci din logax1=logax2.Dar din egalitatea (3) de la punctul 1 obţinem x1=alogax1 şi x2=alogax2,adică x1=x2.Deci f este o funcţie in-
jectivă.
Fie y un număr real oarecare.Notăm cu x=ay.Se vede că x şi logax=logaay=y
Deci f(x)=y,ceea ce ne arată că f este şi surjectivă.Aşadar,f este bijectivă.
4.Inversa funcţiei logaritmice este funcţia exponenţială
Funcţia logaritmică f:(,f(x)=logax,fiind bijectivă,este inversabilă.Inversa ei
este funcţia exponenţială g,g(x)=ax.
Într-adevăr,dacă xavem (gf)(x)=g(f(x))=g(logax)=alogax=x şi dacă y,atunci
atunci (fy)=logaay=y.

3)Proprietăţile logaritmilor
Folosind proprietăţile puterilor cu exponenţi reali obţinem următoarele proprietăţi
pentru logaritmi:
a.Dacă A şi B sunt două numere pozitive,atunci
loga(AB)=logaA+logaB

(logaritmul produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor celor două numere).
Într-adevăr,dacă logaA=x şi logaB=y,atunci ax=A şi ay=B.Cum ax+y=axay,obţinem
Ax+y =A*B şi deci loga(AB)=x+y=logaA+logaB.
Observaţie.
Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A1,A2,...,An adică
Loga(A1A2…An)=logaA1+logaA1+logaA2+…+logaAn.
b.Dacă A şi B sunt două numere pozitive,atunci
logaaA-logaB
(logaritmul câtului a două numere este egal cu diferenţa dintre logaritmul numără-
torului şi cel al numitorului).
Într-adevăr,ţinând cont de proprietatea a.,avem logaA=loga=loga+logaB,
de unde rezultă că loga=logaA-logaB.
Observaţie.
Dacă punem A=1 şi ţinem cont că loga1=0,obţinem egalitatea:
loga=-logaB
c.Dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar,atunci
logaAm=mlogaA
(logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi loga-
ritmul numărului).
Într-adevăr,dacă logaA=x,atunci ax=A.Dar atunci Am=(ax)m=amx şi deci logaAm=mx=
=mlogaA.
d.Dacă A este un număr pozitiv şi n un număr natural(n2),atunci
loga=logaA/n
(logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului).
Într-adevar, proprieatea d este un caz particular al proprietăţii c,punând m=.

Exemple
1)Să se calculeze log375.
Log375=Log3(3*25)=Log33+Log325=1+Log352=1+2Log35.
2)Să se determine log21000-log2125
Avem log2100-log2125=log2=log28=log223=3.
3)Să se calculeze lg0,18-lg180.
Avem lg0,18-lg180=lg=lg=lg10-3=-3.
4)Să se calculeze log6+log6.
Avem log6+log6=-log618-log612=-(log618+log612)=-log6(18*12)=-log663=-3.
5)Să se calculeze log2.Avem log2=log281=log234=log23.
6)Să se calculeze log2.Avem log2=log28=log223=log22=.

4.Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr
Dacă a şi b sunt două numere pozitive diferite de 1,iar A un număr pozitiv oarecare,are loc egalitatea:
LogaA=LogbA*Logab
Într-adevăr,dacă LogaA=x şi LogbA=y,atunci avem ax=A şi by=A,de unde obţinem ax=by.Dar atunci Logaax=Logaby sau xLogaa=yLogab.
Cum Logaa=1,avem x=yLogab,adică LogaA=LogbA*Logab.
Observaţie.
Dacă în egalitatea de mai sus A=a,obţinem Logaa=Logba*Logab.Cum Logaa=1,rezultă
că:
Logab=

Exemple
1)Să se scrie log2x în funcţie de log4x.
Avem log2x=log4x*log24=2log4x.
2)Să se arate că log26+log62>2.
Avem log26+log62=log26+.
Deci trebuie să arătăm că log26+>2 sau (log26)2-2log26+1>0,sau încă (log26-1)2>0
inegalitate evidentă deoarece log261.

5)Operaţia de logaritmare a unei expresii

Să considerăm expresia:
E=
Vom logaritma expresia într-o anumită bază convenabilă a.Folosind proprietăţile logaritmilor,obţinem:
logaE =loga(-loga=loga173+loga+loga-=
=3loga17+loga131+loga92-loga37-loga98-loga23.
Deci am obţinut egalitatea:
LogaE=3loga17+loga131+loga92-loga37-loga98-loga23.
În general,dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali,
putem să-I asociem,exact ca în exemplu de mai sus,o expresie,notată log E,in care apar
sume (diferenţe) de logaritmi înmulţite eventual cu anumite numere raţionale.Operaţia
prin care expresiei E i se asociază expresia log E se numeşte”operaţie de logaritmare”.

Exemple

Fie E=a2 .Prin operaţia de logaritmare,obţinem:
loccE=logc(a2 )=logca2+logc=2logca+logca+logcb.
2)Fie E=.Prin operaţia de logaritmare,obţinem:
logcE =logc=logc=(logca3-logcb5)=logca-logcb.

Adesea în calcule este nevoie să se facă şi operaţia inversă,adică unei expresii în care intervin logaritmi să-i asociem o expresie fără logaritmi.
De exemplu,să considerăm expresia logcE=2logca-logcb-3logc3.
Folosind proprietăţiile logaritmilor,avem:
LogcE=logca2-logc-logc33=logc=logc,de unde obţinem că
E=.






Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice


1)Ecuaţiile logaritmice sunt ecuaţii în care expresiile ce conţin necunoscute apar ca bază sau ca argument al unor logaritmi.
De exemplu:logx+1(x+2)=1;lg(x2+x-2)=3;logx(5x2+3)=lg(2x+3)-1.
Folosind injectivitatea funcţiei exponenţiale,avem că rezolvarea unei ecuaţii de tipul logg(x)f(x)=b este echivalentă cu rezolvarea ecuaţiei f(x)=g(x)b.Vom avea însă grijă ca soluţiile obţinute să satisfacă f(x)>0,g(x)>0,g(x)pentru care expresia logg(x)f(x) are sens.
La fel ca la ecuaţiile exponenţiale,în practică atunci când avem de rezolvat o ecuaţie logaritmică,vom proceda astfel:folosind diverse substituţii precum şi proprietăţile logaritmice,vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuaţii simple,de regulă de gradul întâi sau de gradul al doilea.

Exemplu

Să se rezolve ecuaţia:logx(x2-3x+9)=2.
Obţinem x2-3x+9=x2 şi deci 3x=9,x=3.Deoarece pentru x=3>0,expresia x2-3x+9 este pozitivă,rezultă că x=3 este soluţie a ecuaţiei.

Rezolvarea altor ecuaţii se bazează pe injectivitatea funcţiei logaritmice,şi anume din logaf(x)=logag(x),deducem f(x)=g(x),împunând condiţiile:f(x)>0,g(x)>0

Exemple

1) Să se rezolve ecuaţia:lg(x2-15)=lg(x-3).Deducem că x2-15x=x-3,deci x2-x-12=0
adică x1=4,x2=-3.Deoarece pentru x2=-3 obţinem x-3=-3-3=-6 0,x>0,pentru a avea sens expresiile lg(x-1),lg x5,lg.
Ecuţia se mai scrie 2lg(x-1)=lgx-lgx şi deci 2lg(x-1)=2lgx.Prin urmare,lg(x-1)=lgx,de unde obţinem x-1=x,-1=0,contradicţie;rezultă deci că ecuaţia dată nu are soluţii.
3) Să se rezolve ecuaţia:lg(x+7)+lg(3x+1)=2.Punem condiţiile de existenţă a logaritmilor:x+7>0,3x+1>0,deci x>-.Obţinem lg(x+7)(3x+1)=2 şi deci (x+7)(3x+1)=102=100.Rezultă ecuaţia de gradul al doilea 3x2+22x-93=0,de unde rezultă x1=3,x2=-.Deoarece - 0 şi făcând substituţia log3x=y,obţinem y2-3y-4=0.Deci y1=4,y2=-1.Din log3x=4.obţinem x=34,x=81,iar din log3x=-1,obţinem x=3-1,x=.
În continuare vom rezolva câteva ecuaţii care nu se pot încadra într-un anumit tip.Astfel,pot apărea ecuaţii cu logaritmi scrişi în diferite baze,ecuaţii în care apar expresii conţinând necunoscute şi la exponenţi şi la logaritmi etc.
5)Să se rezolve ecuaţia:log2x+log3x=1.Deducem,aplicând formula de schimbare a bazei, sau lgx=Deci x=10.
6)Să se rezolve ecuaţia:log3x+logx3=2.Deoarece logx3=,rezultă log3x+=2.Notând log3x=y,obţinem y+,adică y2-2y+1=0;deci y=1,adică log3x=1.Prin urmare,x=3.
7)Să se rezolve ecuaţia:xlgx+2=1000.Punem condiţia de existenţă a expresiilor:x>0.Logaritmând,obţinem o ecuaţie echivalentă lg(xlgx+2)=lg1000 care devine (lgx+2)lgx=3.Notând lgx=y,avem y2+2y-3=0 şi deci y1=-3,y2=1.Din lgx=-3,
obţinem x=10-3,x=0,001,iar din lgx=1,rezultă x=10.




2)Sisteme de ecuaţii logaritmice

În astfel de sisteme se aplică metodele arătate anterior la ecuaţiile de tipul respectiv.

Exemplu

Să se rezolve sistemul x2+y2=425
lgx +lgy=2
Obţinem,pe rând sistemele x2+y2=425 x2+y2=425
lgxy =2 xy=1000
x,y>0 x,y>0

Acest sistem simetric îl putem rezolva pe căile cunoscute din clasa a IX-a:punem s=x+y,p=xy şi vom avea s2-2p=425 s2=625 s=25
P=100 p=100 p=100
Sistemul s=25
P=100 dă soluţiile (5,20),(20,5) care satisfac şi condiţiile de existenţă ale sistemului iniţial,x>,y>0.Sistemul s=-25
P=100 dă soluţiile (-20,-5),(-5,-20),care nu convin.



3)Inecuaţii logaritmice

Rezolvarea inecuaţiilor logaritmice se bazează pe proprietăţile de monotonie ale funcţiei logaritmice.Am văzut că funcţia logaritmică este crescătoare dacă baza este supraunitară şi descrescătoare dacă baza este subunitară.

Exemple


1)Să se rezolve inecuaţia:log(2x-1)>-3.Avem că -3=log27 şi inecuaţia devine log(2x-1)>log27.Deoarece baza a logaritmului este subunitară (funcţia g:(0, este descrescătoare),inecuaţia devine 2x-1 0,deci x>.Deci obţinem pentru x valorile posibile x.

4) Sisteme de inecuaţii logaritmice

În astfel de sisteme se aplică proprietăţile şi metodele arătate anterior la inecuaţiile
Logaritmice.Rezolvarea acestora se reduce în definitiv la rezolvarea sistemelor de ine-
cuaţii întâlnite în clasa a IX-a.

Exemplu

Să se rezolve sistemul

2>2x+1
log3(x2-3x+9) 0 oricare ar fi x real(
|x-2|>3 deci logaritmul este definit pentru orice x real.

Deoarece 3=log327 şi,ţinând seama de monotonia funcţiilor exponenţială şi logaritmică,rezultă sistemul echivalent

X2-2x-3>x+1 x2-3x-4>0
X2-3x+9 3 |x-2|>3

Mulţimea soluţiilor inecuaţiei x2-3x-4>0 este M1=(mulţimea soluţiilor inecuaţiei x2-3x-18 3 este M3=(Atunci mulţimea soluţiilor sistemului este M=M1







Aplicaţii

I.Admiterea în învăţământul superior

1.Să se calculeze expresia:
E=log225-log2
Informatică,Baia Mare,1997

E=log2E=log235*log2log21=0
E=0.

2.Să se rezolve sistemul

xy=40
xlgy=4
Colegiu de Informatică,Cluj,1997

xy=40y=
xlgy=4

lgxlgy=lg4
lgy*lgx=lg4
lg*lgx=lg4
(lg40-lgx)lgx=lg4
lgx*lg40-lg2x=lg4
lg2x-lgxlg40+lg4=0
Notăm lgx=y
y2-ylg40+lg4=0
lg240-4lg4=(lg4+lg10)2-4lg4=lg24+2lg4+1-4lg4=lg24-2lg4+1=(lg4-1)2
y1,2=

=

3.Ştiind că log40100=a,să se exprime log1625 în funcţie de a.
Chimie,Metalurgie,1981

Log4100=a=a



4.Ştiind că a=lg2 şi b=lg3 să se calculeze x=3
Matematică-Fizică,Sibiu,1998

X=3
5.Să se arate că expresia: E=este independentă de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,z,y.
Inginerie,Constanţa,1996