Notiuni de baza Algebra

Mulţimea numerelor întregi. Mulţimi. Produs cartezian
vom numi produs cartezian al mulţimilor A şi B notat A×B, mulţimea perechilor ( a,b ), unde a є A şi b є B
Relaţiile “ ” între numerele raţionale
un număr raţional a este mai mare decât un număr raţional b, ceea ce se scrie a > b, dacă există c є Q astfel încât a = b+c
pe axa numerelor, numărul raţional maimmare se va afla la dreapta celui mai mic
pentru a compara două numere raţionale se vor aduce la acelaşi numitor şi se vor compara numărătorii astfel obţinuţi
Puterea unui număr raţional
se va folosi notaţia : a -ⁿ = 1/a ⁿ
regulide calcul cu puteri :
a m+a n= a m+n
(a m)n = a m×n
a m : a n = a m-n
( a × b )n = a n × b n
( a/b ) n = a n / b n
Ecuaţii în Q
se numeşte ecuaţie propoziţia cu o variabilă în care variabila trebuie să verifice o egalitate
se numeşte soluţie a ecuaţiei un număr sau mai multe numere care puse în locul variabilei formează o propozitie adevărată
forma generală a unei ecuaţii de gradul I cu o necunoscută este : ax + b = c, unde a, b, c є Q
rezolvarea ecuaţiei înseamnă găsirea soluţiilor : ax + b = c ax = c ­ b x = c ­ b/a , a ≠ 0
Numere reale
se numesc numere iraţionale acele numere care scrise zecimal au o infinitate de cifre în dreapta virgulei care nu se repetă periodic
definim mulţimea numerelor reale ca fiind reuniunea dintre mulţimea Q a numerelor raţionale şi mulţimea numerelor iraţionale
reguli de calcul în R :
a√b + c√b =( a+c )√b
a√b – c√b = (a – c)√b
√a ∙√b = √a ∙ b
√a : √b = √a:b
scoaterea factorilor de sub radical se efectuează folosind √a2 =|a| => √a2∙b=|a|√b
introducerea sub radical se efectuează astfel :
a = √a2
a√b = √a2 ∙b
se va raţionaliza numitorul prin amplificarea fracţiei a/√b = a√b /b
pentru ridicarea la putere a unui număr real se va ţine seama de (√a) n=√a n
Calcularea mediilor
Media aritmetică a numerelor a, a1, a2 ,... an este : ma = a+a1+a2... an / n
Media aritmetică ponderată a numerelor a, a1, a2 ,... an având ponderile p, p1, p2, ...pn este : m a p = a1 p1 + a2 p2 +...+an pn / p1+p2 +... +pn
Media geometrică (proporţională) a numerelor pozitive a1 şi a2 este :
mg =√a1 ∙a2
Calcul algebric
doi termeni sunt asemenea dacă au aceeaşi parte literară. La litere identice corespunzând exponenţi identici
adunarea şi scăderea se poate efectua numai între termeni asemenea
pentru a efectua înmulţirea se ţine seama de :
a ∙(b+c) = ab + ac
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
formule de calcul prescurtat:
(a + b)2 = a2 +2ab + b2
(a – b)2 = a2 - 2ab + b2
(a – b)(a + b) = a2 – b2
(a + b +c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc
pentru a raţionaliza fracţia a / b√c + d√e, se va amplifica cu b√c – d√e
pentru a efectua împărţirea se ţine seama de : (a + b + c): d = a:d+b:d+c:d
Descompunerea în factori
metode de descompunere :
scoaterea factorului comun:
a ∙ b + a ∙c = a ∙(b+c)
a ∙ b - a ∙c = a ∙(b - c)
restrângerea pătratului unei sume de doi termeni:
a˛ + 2ab + b˛ = (a+b)˛
a˛ - 2ab + b˛ = (a - b)˛
diferenţa pătratelor:
a˛ - b˛ = (a – b)(a+b)
alte metode:
c(a+b)+d(a+b)= (a+b)(c+d)
x˛ +x(a+b)+a ∙ b = (x+a)(x+b)
Ecuaţii de gradul I cu două necunoscute
forma generală a unei ecuaţii de gradul I cu două necunoscute este ax+by+c = 0
o ecuaţie de radul I cu două necunoscute are o infinitate de soluţii sub forma perechilor (x; -c-ax /b)
mulţimea punctelor din plan care sunt soluţiile unei ecuaţii de gradul I cu două necunoscute formează o dreaptă numită dreapta soluţiilor ecuaţiei
Sisteme de ecuaţii
forma generală a unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute este :
ax+by = c unde a, b, a`, b` sunt coeficienţi şi c, c` termeni liberi
a`c+b`y = c`
se numeşte soluţie a unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute o pereche de forma (x, y)є R×R care verifică ambele ecuaţii ale sistemului
în rezolvarea sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute se pot întâlni următoarele situaţii:
sistemul are o unică soluţie
sistemul nu are soluţii(sistem incompatibil)
sistemul are o infinitate de soluţii(sistem nedeterminat)

Geometrie


Patrulatere. Paralelogramul
se numeşte paralelogram patrulaterul convex care are laturile opuse paralele două câte două
proprietăţile paralelogramului:
laturile opuse sunt congruente două câte două
unghiurile opuse sunt congruente două câte două
unghiurile consecutive sunt suplementare
diagonalele se intersectează una pe cealaltă în părţi congruente
Linia mijlocie într-un triunghi
segmentul care uneşte mijloacele a două laturi ale unui triunghi senumeşte linie mijlocie
într-un triunghi segmentul care uneşte mijloacele a două laturi este paralel cu cea de-a treia latură şi are lungimea jumătate din lungimea acesteia
într-un triunghi ABC, paralela prin mijlocul D al laturii [AB] la latura [BC] conţine mijloul E al laturii [AC] şi avem DE=1/2 BC
Dreptunghiul
se numeşte dreptunghi un paralelogram care are un unghi drept
proprietăţi caracteristice:
are toate unghiurile congruente, deci drepte
are diagonalele congruente
un patrulater convex este dreptunghi dacă are toate unghiurile congruente
paralelogramul care are diagonalele congruente este dreptunghi
Rombul
se numeşte romb un paralelogram care are două laturi consecutive congruente
- proprietaţi caracteristice:
toate laturile rombului sunt congruente
diagonalele rombului sunt perpendiculare între ele
diagonalele rombului sunt bisectoare pentru unghiurile rombului

patrulaterul convex cu toate laturile congruente
paralelogramul cu diagonalele perpendiculare este romb
paralelogramul în care o diagonală este bisectoarea unui unghi este romb
Pătratul
se numeşte patrat un dreptunghi care are două laturi consecutive congruente
pătratul are toate proprietăţile dreptunghiului şi rombului
într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei
dacă într-un triunghi o mediană are lungimea cât jumătatea lungimii laturii care îi corespunde, atunci triunghiul este dreptunghic


Trapezul
se numeşte trapez patrulaterul care are două laturi paralele şi celelalte două neparalele
un trapez este isoscel dacă laturile neparalele sunt congruente
un trapez este dreptunghic dacă o latură neparalelă este perpendiculară pe bază
într-un trapez unghiurile alăturate unei baze sunt congruente dacă şi numai dacă trapezul este isoscel
într-un trapez diagonalele sunt congruente dacă şi numai dacă trapezul este isoscel
Linia mijlocie în trapez
segmentul care uneşte mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se numeşte linie mijlocie în trapez
linia mijlocie a trapezului este parallă cu bazele şi are lungimea jumătate din suma lungimilor bazelor
lungimea segmentuui inclus în linia mijlocie a unui trapez cuprins între intersecţiile sale cu diagonalele este egală cu smidiferenţa lungimilor bazelor
Arii
aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lungime şi lăţime
aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii
aria unui romb este egală cu semiprodusul lungimii diagonalelor
aria unui trapez este egală cu produsul dintre semisuma lungimilor bazelor sale şi lungimea înălţimii
Relaţii metrice. Teorema lui Thales
o paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporţionale
mai multe paralele determină pe două secante segmente proporţionale
într-un triunghi o bisectoare determină pe latura opusă două segmente proporţionale cu celelalte două aturi
dacă o dreaptă determină determină pe laturile unui triunghi segmente respectiv proporţionale cu aceste laturi atunci această dreaptă este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului
Asemănarea triunghiurilor
două triunghiuri se numesc asemenea dacă au toate laturile respectiv proporţionale şi unghiurile opse lor respectiv congruente
teorema fundamentală a asemănarii:
O paralelă dusă la una din laturile unui unghi formează cu celelalte sau cu prelungirile lor un unghi asemenea cu cel dat.
cazurile de asemănare:
dacă două triunghiuri au două unghiuri respectiv congruente, atunci ele sunt asemenea
dacă două triunghiuri au câte un unghi congruent şi laturile ce-l formează respectiv proporţionale, atunci ele sunt asemenea
dacă două triunghiuri au cele trei laturi respectiv proporţionale, atunci ele sunt asemenea
Relaţii metrice în triunghiuri dreptunghice
în triunghiul dreptunghic ABC, m A=90ş, AD înălţime, D є (BC) se cunosc următoarele relaţii:
teorema înălţimii: AD˛ = DB · DC
teorema catetei: AB˛ = BD · BC
AC˛ = CD · BC
3. teorema lui Pitagora: BC˛ = AB˛+AC˛
reciproca teoremei lui Pitagora :
Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Elemente de trigonometrie
într-un triunghi dreptunghic se definesc:
sinusul unui unghi ascuţit este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului şi lungimea ipotenuzei
cosinusul unui unghi ascuţit este egal cu raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului şi lungimea ipotenuzei
tangenta unui unghi ascuţit este egală cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului şi lungimea catetei alăturate
cotangenta unui unghi ascuţit este egală cu raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului şi lungimea catetei opuse
se vor reţine următoarele relaţii:
sin˛ x + cos˛ x = 1 sin (90ş - x)= cos x
tg x = sin x / cos x = 1/ ctg x cos (90ş - x)= sin x

tg(90ş - x)= ctg x
ctg(90ş - x)= tg x
Cercul
se numeşte cerc locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix numit centru
se numeşte coardă un segment cu capetele pe cerc
se numeşte diametru coarda care conţine şi centru cercului(capetele diametrului se numesc puncte diametral opuse)
un unghi cu vârful în centrul unui cerc se numeşte unghila centru. Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului mic cuprins între laturile unghiului
în acelaş cerc sau în cercuri congurente, la arce congurente corespund coarde congurente
perpendiculara din centrul cercului pe coardă înjumătăţeşte coarda
în acelaş cerc sau în cercuri congurente, dacă două coarde sunt congurente, atunci ele se află la aceeaşi distanţă de centru şi reciproc
o dreaptă poate să intersecteze un cerc astfel:
într-un punct şi se numeşte tangentă la cerc
în două puncte şi se numeşte secantă
tangenta la cerc este perpendiculară pe raza cercului în punctul de contact
se numeşte unghi înscris în cerc, unghiul cu vârful pe cerc şi care are ca laturi două coarde. Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale
măsura unui unghi cu vârful pe cerc care are o latură coardă şi cealaltă latură tangentă la cerc este egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturi
toate unghiurile înscrise într-un semicerc sunt unghiuri drepte
dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce două tangente la acest cerc cu următoarele proprietăţi:
tangentele sunt congruente(segmentele cu capetele în punctul de tangenţă şi punctul exterior de unde se duce tangenta)
semidreapta dusă din punctul exterior cnţine şi centtrul cercului este bisectoarea unghiului format de tangente
se numeşte patrulater înscris, un patrulater care are vârfurile pe cerc
un patrulater se numeşte circumscris dacă laturile sale sunt tangente unui cerc
patru puncte se numesc conciclice dacă aparţin unui cerc
un patrulater se numeşte inscriptibil dacă vârfurile sunt puncte conciclice
un patrulater în care unghiurile formate de diagonale cu două laturi opuse, sunt congruente, este patrulater inscriptibil
un patrulater este inscriptibil dacă şi numai dacă unghiurile opuse sunt suplementare
Poligoane regulate
se numeşte poligon convex, un poligon în care oricare ar fi o latură a sa, toate vârfurile nesituate pe latura considerată se află de aceeaşi parte a dreptei în care este inclusă latura respectivă
suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este (n – 2)·180ş
se numeşte poligonregulat un poligon convex cu toate laturile sale congruente şi toate unghiurile sale congruente
orice poligon regulat se poate înscrie în cerc
se numeşte apotemă a unui poligon regulat segmentul care uneşte mijlocul unei laturi a poligonului cu centru cercului circumscris acelui poligon
între latura, apotema, aria poligonului şi raza cercului circumscris acelui poligon există relţiile:
pentru triunghiul echilateral:
a3 = l3√3/6 = R/2
A3 = l3˛√3/4 = 3R˛√3/4

pentru pătrat:
l4 = R√2
a4 = l4 / 2 = R√2 /2
A4 = l4 ˛ = 2R˛

pentru hexagonul regulat:
l6 = R
a6 = l6√3 /2 = R√3 /2
A6 = 60 · l6˛ √3 /4 = 3R˛√3
lungimea unui cerc este 2πR
aria unui cerc este πR˛
se numeşte sector circular porţiunea din interiorul unui cerc cuprinsă între două raze
aria unui sector circular este πuşR˛ /360ş , unde uş este măsura arcului cuprins între razele sectorului
lungimea unui sector circular corespunzător unui arc de cerc având măsura de uş este 2πRuş /360ş