Proprietatile formelor geometrice

Proprietatile
formelor geometrice


Paralelogramul
-Este patrulaterul convex avand laturile paralele doua cate doua.
Proprietati:- laturile opuse sunt congruente;
- unghiurile opuse sunt congruente;
- diagonalele se intersecteaza in segmente congruente (se injumatatesc);
- laturile opuse sunt paralele si congruente.

Dreptunghiul
Este paralelogramul cu un unghi drept.
Proprietati:- are toate unghiurile drepte;
- diagonalele sunt congruente;
- diagonalele formeaza cu laturile patru triunghiuri isoscele.

Rombul
Este paralelogramul cu doua laturi consecutive congruente.
Proprietati:-toate laturile sunt conguente;
- diagonalele sunt perpendiculare;
- diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor.
- diagonalele formeaz¬ cu laturile patru triunghiuri dreptunghice congruente.

Patratul

Este: - rombul cu un unghi drept;
- dreptunghiul cu doua laturi consecutive congruente.
Proprietati:- are toate laturile congruente;
- are toate unghiurile drepte;
- diagonalele sunt congruente;
- diagonalele sunt perpemdiculare;
- diagonalele formeaza unghiuri de 450 cu laturile;
- diagonalele formeaza cu laturile 4 triunghiuri dreptunghice si isoscele congruente.

Trapezul
Este patrulaterul convex cu doua laturi paralele si doua laturi neparalele.

Linia mijlocie in trapez
Este segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele.
Proprietati:- este paralela cu bazele;
- este egala cu semisuma bazelor;
- segmentul care uneste mijloacele diagonalelor este inclus in linia mijlocie.
- segmentul care uneste mijloacele diagonalelor este egal cu semidiferenta bazelor

Triunghiul- poligon cu trei laturi

Clasificare:
1. după laturi:
• ∆ oarecare;
• ∆ isoscel (două laturi egale);
• ∆ echilateral (toate laturile egale).

2. după unghiuri:
• ∆ ascuţitunghic (toate unghiurile < 900);
• ∆ dreptunghic ( un unghi = 900);
• ∆ optuzunghic ( un unghi >900).


Proprietati:

- Doua triunghiuri dreptunghice sunt asemenea daca au o pereche de
unghiuri ascutite congruente;
- Doua triunghiuri isoscele sunt asemenea daca au o pereche de
unghiuri congruente;
- Doua triunghiuri echilaterale sunt asemenea;
- Doua triunghiuri dreptunghice isoscele sunt asemenea;
- Doua triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea;
- Doua triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt
asemenea;
- Daca doua triunghiuri sunt asemenea atunci raportul de asemanare
al laturilor este egal cu:
- raportul bisectoarelor;
- raportul ”inaltimilor;
- raportul medianelor;
- raportul razelor cercurilor inscrise;
- raportul razelor cercurilor circumscrise.

Linii importante în triunghi:
• mediatoarea -perpendiculara pe mijlocul laturii, orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului, punctul de intersecţie al mediatoarelor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului, se notează cu O

• bisectoarea -dreapta care împarte unghiul în două părţi congruente, orice punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului, punctul de intersecţie al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris triunghiului, se notează cu I. Teorema bisectoarei: într-un triunghi oarecare bisectoarea împarte latura pe care cade într-un raport egal cu raportul laturilor.

• mediana -segmentul care uneşte vârful triunghiului cu mijlocul laturii opuse, punctul de intersecţie al medianelor se află la o treime de bază şi două treimi de vârf, se numeşte centru de greutate al triunghiului şi se notează cu G.

• înălţimea -perpendiculara din vârf pe latura opusă, punctul de intersecţie al înălţimilorlor într-un triunghi se numeşte ortocentru sau centrul drept al triunghiului, se notează cu H.

• linia mijlocie –segmentul care uneşte mijloacele a două laturi ale triunghiului. Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu cea de a treia latură a triunghiului şi jumătate din ea.


Bisectuarele unui triunghi
-Intr-un triunghi cele trei bisectoare sunt concurente.


-Punctul de intersectie al bisectoarelor este centrul cercului inscris in triunghi.




Mediatoarea unui triunghi
-Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.
-Punctul de intersectie al mediatorelor laturilor triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului.


-Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei.


Medianele unui triunghi
-Medianele unui triunghi sunt concurente.
-Punctul de concurenta al medianelor se numeste
centrul de greutate al triunghiului.
-Centrul de greutate al triunghiului se afla pe fiecare mediana, la o treime de baza
si doua treimi de varf
-Triunghiul MNP se numeste triunghi median sau complementar.

Inaltimile unui triunghi
-Inaltimile unui triunghi sunt concurente.
-Punctul de concurenta al inaltimilor se numeste ortocentru.
-Triunghiul format din ortocentru si doua varfuri are drept ortocentru cel de-al treilea varf al sau.


- Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se afla in exteriorul triunghiului.
- Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se afla in varful sau drept.


Linia mijlocie intr-un triunghi
-Este segmentul care uneste mijloacele a doua laturi din triunghi
-Linia mijlocie este paralela cu a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.
-Paralela dusa prin mijlocul unei laturi ale unui triunghi la alta latura a triunghiului trece prin mijlocul celei de-a treia laturi a triunghiului.

Suma masurilor unghiurilor unui triunghi
-Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este egala cu

Un triunghi are cel mult un unghi de masura mai mare sau egal cu
Unghiurile ascutite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare.
Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt ascutite.
Unghiurile de la baza unui triunghi dreptunghic isoscel au masura de .
Unghiurile unui triunghi echilateral au masura de

Unghi exterior unui triunghi
-Este unghiul format de o latura a triunghiului cu prelungirea altei laturi a triunghiului.
-Masura unghiului exterior unui triunghi este egala cu suma masurilor celor doua unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el.

Triunghiul isoscel

-Este triunghiul cu doua laturi congruente.

Proprietati: -are doua unghiuri congruente;
-liniile corespunzatoare bazei coincid;
-liniile corespunzatoare laturilor congruente sunt congruente;





Triunghiul echilateral
-Este triunghiul cu toate laturile congruente.

Proprietati:-are toate unghiurile congruente;
-liniile importante corespunzatoare fiecarei laturi coincid;
-liniile importante corespunzatoare fiecarei laturi sunt congruente;


Elemete de trigonometrie



Relatii intre unghiuri si laturi

Teorema lui Thales
-O paralel dusa la una dintre laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente proportionale.

Reciproca: O dreapta care imparte doua laturi ale unui triunghi in parti proportionale este paralela cu a treia latura a triunghiului.


Teorema fundamentala a asemanarii
-O paralela dusa la o latura a unui triunghi determina un triunghi asemenea cu cel dat.